روش حجم محدود (Finite Volume Method) یکی از تکنیک‌های قدرتمند و محبوب برای حل عددی معادلات دیفرانسیل جزئی (PDEs) است. این روش به ویژه در شبیه‌سازی جریان‌های سیال و انتقال حرارت کاربرد دارد. در این مطلب، به بررسی اصول اولیه این روش، پیاده‌سازی آن در زبان برنامه‌نویسی متلب و کاربردهای آن خواهیم پرداخت.
۱. اصول اولیه روش حجم محدود
روش حجم محدود بر اساس حفظ مقدار فیزیکی (مانند جرم، انرژی یا مومنتوم) در هر حجم کنترل عمل می‌کند. این روش به طور خاص برای مسائل جریان سیال طراحی شده است و به راحتی می‌تواند برای هندسه‌های پیچیده و شرایط مرزی مختلف مورد استفاده قرار گیرد.
۱.۱. تعریف حجم کنترل
در این روش، فضای محاسباتی به حجم‌های کنترل تقسیم می‌شود. هر حجم کنترل شامل یک نقطه مرکزی است که مقادیر فیزیکی در آن محاسبه می‌شود. معادلات دیفرانسیل بر روی این حجم‌ها یکپارچه می‌شوند.
۲. مثال: معادله انتقال حرارت یک بعدی
برای نشان دادن روش حجم محدود، معادله انتقال حرارت یک بعدی را در نظر می‌گیریم:
که در آن ( u(x, t دما، α ضریب نفوذ حرارتی، x مکان و t زمان است.
۳. پیاده‌سازی در متلب
۳.۱. تعریف پارامترها
۳.۲. تعریف شرایط اولیه و مرزی
۳.۳. حل عددی با استفاده از روش حجم محدود
در روش حجم محدود، ما مقادیر را در حجم‌های کنترل محاسبه می‌کنیم:
۳.۴. نمایش نتایج
۴. تصویر نمونه
در زیر تصویری از نتایج شبیه‌سازی با استفاده از روش حجم محدود آورده شده است:
نتایج شبیه‌سازی
۵. کاربردهای روش حجم محدود
روش حجم محدود به طور گسترده‌ای در زمینه‌های مختلف علمی و مهندسی مورد استفاده قرار می‌گیرد:
• مدل‌سازی جریان سیال: شبیه‌سازی دینامیک سیالات و انتقال حرارت در لوله‌ها.
• شبیه‌سازی آتش: تحلیل رفتار آتش و انتشار آن در محیط.
• مدل‌سازی زیست‌محیطی: شبیه‌سازی انتشار آلودگی در آب و خاک.
نتیجه‌گیری
روش حجم محدود یک ابزار مؤثر برای حل عددی معادلات دیفرانسیل جزئی است که با استفاده از متلب به سادگی قابل پیاده‌سازی است. این روش به دلیل قابلیت‌های خود در حفظ مقادیر فیزیکی و کارایی بالا در هندسه‌های پیچیده، به عنوان یکی از تکنیک‌های اصلی در شبیه‌سازی‌های عددی شناخته می‌شوند
