معادلات سهموی (Parabolic Equations) یکی از انواع معادلات دیفرانسیل جزئی هستند که در بسیاری از مسائل فیزیکی و مهندسی کاربرد دارند. این معادلات معمولاً برای مدل‌سازی فرآیندهای انتقال حرارت، انتشار مواد و همچنین در مسائل مالی به کار می‌روند.
تعریف معادلات سهموی
یک معادله سهموی عمومی به صورت زیر است:
که در آن u تابع وابسته به زمان t و متغیر فضایی x است و k یک ثابت است.
کاربردها
• انتقال حرارت: مدل‌سازی انتقال حرارت در میله‌ها و مواد مختلف.
• انتشار مواد: بررسی نحوه انتشار مواد شیمیایی در محیط‌های مختلف.
• مدل‌سازی مالی: در نظریه گزینه‌های مالی، برای پیش‌بینی قیمت‌ها.
حل معادلات سهموی با MATLAB
برای حل این معادله، می‌توان از روش‌های عددی مانند روش تفاضل محدود (Finite Difference Method) استفاده کرد. در ادامه یک مثال ساده از حل معادله سهموی با استفاده از MATLAB آورده شده است.
مثال: حل معادله سهموی
توضیحات کد
1. تعریف پارامترها: طول میله، زمان نهایی، تعداد نقاط فضایی و زمانی، و ضریب نفوذ تعریف می‌شود.
2. شرایط اولیه: دما در زمان صفر به صورت تابع سینوس تعریف شده است.
3. حل عددی: با استفاده از حلقه‌های تو در تو، معادله سهموی حل می‌شود.
4. رسم نتایج: نتایج به صورت سه‌بعدی با استفاده از تابع mesh نمایش داده می‌شود.
نتیجه‌گیری
معادلات سهموی نقش مهمی در مدل‌سازی پدیده‌های طبیعی دارند و با استفاده از MATLAB می‌توان به راحتی آن‌ها را حل کرد. این کد نمونه‌ای از نحوه پیاده‌سازی و حل این معادلات است که می‌تواند به عنوان پایه‌ای برای پروژه‌های پیچیده‌تر مورد استفاده قرار گیرد.
