مشتق گیری یکی از مفاهیم اساسی در ریاضیات است که کاربردهای فراوانی در زمینه‌های مختلف مانند فیزیک، مهندسی و اقتصاد دارد. روش تفاضل مرکزی یکی از روش‌های عددی برای محاسبه مشتق اول تابع است که به سادگی قابل پیاده‌سازی در متلب می‌باشد.
در این مطلب، ابتدا روش تفاضل مرکزی را با استفاده از لگوهای رنگی توضیح می‌دهیم و سپس با استفاده از نمونه کد متلب، نحوه محاسبه مشتق اول به این روش را به طور کامل شرح می‌دهیم.
روش تفاضل مرکزی با متلب
فرض کنید می‌خواهیم مشتق اول تابع (f(x) در نقطه x محاسبه کنیم.
1. انتخاب نقاط: دو نقطه x-h و x+h را در اطراف نقطه x انتخاب می‌کنیم.
2. قرار دادن لگوها:
لگویی با رنگ آبی را در نقطه x-h قرار می‌دهیم.
لگویی با رنگ سبز را در نقطه x+h قرار می‌دهیم.
گویی با رنگ زرد را در نقطه x قرار می‌دهیم.
3. محاسبه شیب: شیب خطی که از دو لگوی آبی و سبز عبور می‌کند، برابر است با مشتق اول تابع در نقطه x.
برای یافتن شیب خط، از لگوهای زرد و سبز یک مثلث قائم الزاویه می سازیم.
ضلع مقابل به رنگ زرد و ضلع مجاور به رنگ سبز خواهد بود.
با استفاده از لگوهای زرد و سبز، نسبت ضلع مقابل به ضلع مجاور را محاسبه می‌کنیم که برابر است با شیب خط مماس.
کد متلب
کد متلب زیر یک تابع به نام central_difference را پیاده‌سازی می‌کند که مشتق اول تابع( f(x در نقطه x را با استفاده از روش تفاضل مرکزی محاسبه می‌کند.
مثال کاربردی
خروجی:
مشتق اول تابع f(x) = x^2 در نقطه x = 2 برابر است با: 4.0000
مثال 2: محاسبه مشتق اول تابع( f(x) = sin(x) در نقطه x = pi/4
خروجی:
مشتق اول تابع( f(x) = sin(x) در نقطه x = pi/4 برابر است با: 0.7071
نتیجه
روش تفاضل مرکزی یک ابزار قدرتمند برای محاسبه مشتق اول توابع است. این روش با استفاده از دو نقطه اطراف نقطه مورد نظر، تقریب خوبی از مشتق را ارائه می‌دهد. در این مطلب، کد متلب برای پیاده‌سازی روش تفاضل مرکزی و چند مثال کاربردی برای نشان دادن قدرت این روش ارائه شد.
عکس
روش تفاضل مرکزی در متلب
توضیح عکس:
این عکس نمونه‌ای از کد متلب برای محاسبه مشتق اول یک تابع به روش تفاضل مرکزی را نشان می‌دهد. در این کد، تابع central_difference با پارامترهای f, x و h تعریف شده است.
تصویر لگو:
توضیح تصویر لگو:
این تصویر نشان دهنده یک ذوزنقه ساخته شده با لگو است. این تصویر به عنوان نمونه‌ای از نحوه تقریب مساحت
