مقدمه
معادلات سهموی (Parabolic Equations) به طور گسترده‌ای در مدل‌سازی پدیده‌های فیزیکی و مهندسی استفاده می‌شوند. یکی از روش‌های مؤثر برای حل این معادلات، روش( ADI (Alternating Direction Implicit) است. این روش به ویژه در مسائل چند بعدی و زمانی که پایداری و دقت اهمیت دارد، کاربردی است.
فرم کلی معادله سهموی
معادله سهموی به شکل زیر است:
که در آن:
• u: تابع ناشناخته (مثلاً دما یا غلظت)
• t: زمان
• x: مکان
• α: ثابت انتشار
•( f(x, t: تابع منبع یا منبع حرارتی
روش ADI
روش ADI یک تکنیک عددی است که به حل معادلات دیفرانسیل جزئی سهموی کمک می‌کند. این روش به دو مرحله تقسیم می‌شود:
1. مرحله اول: حل معادله در جهت اول (به عنوان مثال، محور x)
2. مرحله دوم: حل معادله در جهت دوم (به عنوان مثال، محور y)
این رویکرد به ما اجازه می‌دهد تا از مزایای روش‌های ضمنی استفاده کنیم بدون اینکه نیاز به حل یک سیستم بزرگ از معادلات خطی داشته باشیم.
مراحل اجرای روش ADI
1. گسسته‌سازی دامنه: دامنه زمانی و مکانی را به شبکه‌ای گسسته تقسیم کنید.
2. تبدیل معادله به سیستم خطی: با استفاده از روش ضمنی، معادله را به یک سیستم خطی تبدیل کنید.
3. حل سیستم خطی: از روش‌های عددی برای حل سیستم خطی استفاده کنید.
4. به‌روزرسانی مقادیر: مقادیر جدید را در شبکه گسسته به‌روزرسانی کنید و مراحل را تکرار کنید.
کد نویسی با متلب
کد متلب برای حل معادله سهموی با روش ADI
در اینجا یک کد ساده برای حل معادله انتقال حرارت در یک میله یک بعدی با استفاده از روش ADI آورده شده است:
% پارامترها
L = 10; % طول میله
T = 2; % زمان نهایی
Nx = 50; % تعداد نقاط مکانی
Nt = 100; % تعداد نقاط زمانی
alpha = 0.01; % ضریب انتشار
dx = L/(Nx-1); % فاصله مکانی
dt = T/Nt; % فاصله زمانی
% ایجاد ماتریس و شرایط اولیه
u = zeros(Nx, Nt);
u(:,1) = sin(pi*(0:dx:L)); % شرایط اولیه
% ماتریس ضریب
r = alpha * dt / dx^2;
A = (1 + 2*r) * eye(Nx) - diag(r*ones(Nx-1,1), 1) - diag(r*ones(Nx-1,1), -1);
% حل معادله با روش ADI
for n = 1:Nt-1
% مرحله اول (حل در جهت x)
b = u(:,n);
b(2:Nx-1) = b(2:Nx-1) + r * (u(3:Nx,n) - 2*u(2:Nx-1,n) + u(1:Nx-2,n));
u(:,n+1) = A\b; % حل سیستم خطی
end
% ترسیم نتایج
x = 0:dx:L;
mesh(0:dt:T, x, u);
xlabel('زمان');
ylabel('مکان');
zlabel('دما');
title('انتقال حرارت در میله با روش ADI');
نتیجه‌گیری
روش ADI یک تکنیک مؤثر برای حل معادلات سهموی است که به ما امکان می‌دهد تا مسائل پیچیده را با دقت بالا و پایداری بیشتر حل کنیم. این روش به ویژه در کاربردهای علمی و مهندسی از اهمیت بالایی برخوردار است.
تصویر
