معادلات سهموی (Parabolic Equations) به طور گسترده‌ای در مدل‌سازی پدیده‌های فیزیکی مانند انتقال حرارت، انتشار مواد و دینامیک سیالات استفاده می‌شوند. یکی از روش‌های مؤثر برای حل این معادلات، روش ضمنی AFI (Alternating Direction Implicit) است. این روش به ویژه برای مسائل دو بعدی و سه بعدی که نیاز به دقت بالا و پایداری عددی دارند، بسیار مناسب است.
1. مقدمه‌ای بر معادلات سهموی
معادله سهموی عمومی به شکل زیر است:
که در آن:
• ( u(x, y, t تابع ناشناخته است.
• α ضریب نفوذ است.
• (f(x, y, t تابع منبع یا بارگذاری است.
2. روش (AFI (Alternating Direction Implicit
روش AFI یک تکنیک عددی برای حل معادلات دیفرانسیل جزئی است که با استفاده از ترکیب روش‌های ضمنی و تفاضل محدود، به حل معادلات سهموی کمک می‌کند. این روش به صورت زیر عمل می‌کند:
1. تقسیم زمان: معادله را به صورت ضمنی در دو جهت مختلف حل می‌کنیم.
2. حل در یک جهت: ابتدا معادله را در یک جهت (مثلاً x) حل می‌کنیم و سپس در جهت دیگر (y).
3. تکرار: این فرآیند تکرار می‌شود تا به دقت مطلوب برسیم.
متلب
در اینجا یک پیاده‌سازی ساده از روش AFI در متلب آورده شده است:
نتیجه‌گیری
روش AFI یکی از تکنیک‌های مؤثر برای حل معادلات سهموی است که با ترکیب روش‌های ضمنی و تفاضل محدود، به دقت و پایداری بالایی دست می‌یابد.
تصویر
