سری تیلور یکی از ابزارهای قدرتمند در ریاضیات است که به ما این امکان را می‌دهد تا یک تابع را به صورت یک سری از توابع چندجمله‌ای تقریب بزنیم. یکی از کاربردهای مهم سری تیلور، تعریف مشتق اول تابع است.
تعریف مشتق اول با استفاده از سری تیلور
مشتق اول تابع( f(x در نقطه a را می‌توان با استفاده از سری تیلور به صورت زیر تعریف کرد:
f'(a) = lim(h → 0) f(a+h) - f(a) / h
با استفاده از سری تیلور، می‌توان این مشتق را به صورت تقریبی محاسبه کرد:
f(a+h) = f(a) + f'(a)h + f''(a) / 2h² + O(h³)
با توجه به این فرمول، می‌توان مشتق اول را به صورت زیر تقریب زد:
f'(a) ≈ f(a+h) - f(a) / h
پیاده‌سازی در MATLAB
در این بخش، یک کد MATLAB برای محاسبه مشتق اول یک تابع با استفاده از سری تیلور و همچنین رسم نتایج ارائه می‌شود.
توضیحات کد
1. تعریف تابع: تابع ( f(x) = sin(x به عنوان تابع مورد نظر انتخاب شده است.
2. محاسبه مشتق: با استفاده از فرمول سری تیلور، مشتق تقریبی در نقطه a محاسبه می‌شود و همچنین مشتق واقعی نیز محاسبه می‌شود.
3. نمایش نتایج : نتایج به صورت متنی در کنسول نمایش داده می‌شوند.
4. رسم نتایج : تابع و مشتق آن بر روی یک نمودار رسم می‌شوند. همچنین نقطه a نیز در نمودار مشخص شده است.
نتیجه‌گیری
این کد به شما این امکان را می‌دهد تا با استفاده از سری تیلور، مشتق اول یک تابع را تقریب بزنید و نتایج را بصورت گرافیکی مشاهده کنید. این روش برای بسیاری از توابع دیگر نیز قابل استفاده است و می‌تواند در تحلیل‌های عددی و شبیه‌سازی‌های مختلف کاربرد داشته باشد.
نمودار تابع سینوس و مشتق آن
