روش‌های صریح در حل معادلات دیفرانسیل با زبان برنامه‌نویسی پایتون

 

روش‌های صریح (Explicit Methods) یکی از رایج‌ترین و ساده‌ترین روش‌ها برای حل معادلات دیفرانسیل عادی (ODE) هستند. این روش‌ها به دلیل سادگی در پیاده‌سازی و کارایی بالا، در بسیاری از زمینه‌های علمی و مهندسی مورد استفاده قرار می‌گیرند. در این مطلب، به بررسی یکی از روش‌های صریح به نام "روش اویلر" (Euler Method)  و نحوه پیاده‌سازی آن با زبان برنامه‌نویسی پایتون خواهیم پرداخت.

 

۱. تعریف روش اویلر

 

روش اویلر یک روش عددی برای حل معادلات دیفرانسیل است که به صورت زیر بیان می‌شود:

 

yₙ₊₁ = yₙ + h ⋅ f(tₙ, yₙ)

که در آن:

 

•  yₙ  مقدار فعلی تابع است.

 

•  h  گام زمانی است.

 

• ( f(tₙ, yₙ  تابع مشتق است.

 

۲. پیاده‌سازی روش اویلر در پایتون

 

در اینجا، مثالی از پیاده‌سازی روش اویلر برای حل معادله دیفرانسیل  dy/dt = -2y  ارائه می‌شود.

 

کد نمونه:

 

 

 

۳. توضیح کد

 

• تعریف تابع مشتق : تابع f به عنوان تابع مشتق معادله دیفرانسیل تعریف شده است.

 

• تعریف پارامترها: زمان شروع، زمان پایان، گام زمانی و مقدار اولیه مشخص شده‌اند.

 

• محاسبه تعداد مراحل : تعداد مراحل بر اساس بازه زمانی و گام زمانی محاسبه می‌شود.

 

• اجرای روش اویلر: با استفاده از یک حلقه for، مقادیر جدید تابع محاسبه می‌شوند.

 

• رسم نتایج : نتایج با استفاده از کتابخانه matplotlib رسم می‌شوند.

 

۴. نتیجه‌گیری

 

روش‌های صریح، به ویژه روش اویلر، ابزارهای مفیدی برای حل معادلات دیفرانسیل هستند. این روش‌ها به دلیل سادگی در پیاده‌سازی و سرعت محاسباتی، در بسیاری از زمینه‌ها از جمله مهندسی مکانیک، کنترل و شبیه‌سازی سیستم‌ها کاربرد دارند.