معادلات سهموی (parabolic equations) به نوعی از معادلات دیفرانسیل جزئی اطلاق می‌شود که به‌خصوص در مدل‌سازی پدیده‌های انتقال حرارت و دیگر فرآیندهای دینامیکی کاربرد دارند. یکی از مهم‌ترین ویژگی‌های این معادلات، وجود شرایط مرزی است که می‌تواند بر حل آن‌ها تأثیر بگذارد. در اینجا، ما به بررسی روش‌های عددی ضمنی برای حل معادلات سهموی با استفاده از شرط مرزی نیومن (Neumann boundary condition) می‌پردازیم.
شرط مرزی نیومن
شرط مرزی نیومن به معنای تعیین مقدار مشتق تابع در مرزهای دامنه است. به عنوان مثال، اگر u تابع مورد نظر باشد، شرط مرزی نیومن به صورت زیر بیان می‌شود:
که در آن n جهت نرمال به مرز و ( g(x, t تابعی است که می‌تواند به زمان و فضا وابسته باشد.
روش Crank-Nicolson
روش Crank-Nicolson یک روش عددی ضمنی است که برای حل معادلات سهموی بسیار مناسب است. این روش با استفاده از میانگین مقادیر در زمان‌های n و n+1 کار می‌کند و معمولاً دقت بالایی دارد.
پیاده‌سازی در پایتون
کد پایتون
توضیحات کد پایتون
- ابتدا، پارامترها و آرایه‌ها تعریف و تخصیص داده می‌شوند.
- ماتریس‌های A و B برای حل ضمنی تشکیل می‌شوند.
- شرایط مرزی نیومن به ماتریس‌ها اعمال می‌شود.
- با استفاده از یک حلقه، مقادیر دما محاسبه می‌شود.
- نتایج به صورت گرافیکی نمایش داده می‌شود.
نتیجه‌گیری
روش Crank-Nicolson یکی از بهترین روش‌ها برای حل معادلات سهموی با شرایط مرزی نیومن است.
تصویر 
