معادلات بیضوی (Elliptic Equations) یکی از انواع معادلات دیفرانسیل جزئی هستند که در بسیاری از مسائل مهندسی و فیزیکی به‌ویژه در مکانیک، الکترومغناطیس، و دینامیک سیالات کاربرد دارند. این معادلات معمولاً برای مدل‌سازی پدیده‌هایی مانند توزیع دما، پتانسیل الکتریکی و فشار سیال استفاده می‌شوند.
تعریف معادلات بیضوی
یک معادله بیضوی عمومی به صورت زیر است:
که در آن ∇² عملگر لاپلاسی است. این معادله برای توصیف وضعیت تعادل در سیستم‌های مختلف به کار می‌رود.
کاربردها
• مدل‌سازی جریان سیال: برای تحلیل رفتار سیالات در شرایط پایدار.
• توزیع دما : در مسائل انتقال حرارت در حالت پایدار.
• پتانسیل الکتریکی : در نظریه الکترواستاتیک.
حل معادلات بیضوی با MATLAB
برای حل معادله بیضوی، می‌توان از روش‌های عددی مانند روش تفاضل محدود (Finite Difference Method) استفاده کرد. در ادامه یک مثال ساده از حل یک معادله بیضوی با استفاده از MATLAB آورده شده است.
▎مثال: حل معادله لاپلاس در یک دامنه مربعی
توضیحات کد
1. تعریف پارامترها : طول دامنه، تعداد نقاط در هر بعد، و ماتریس برای ذخیره مقادیر تعریف می‌شود.
2. شرایط مرزی : شرایط مرزی برای چهار طرف مربع تعریف می‌شود.
3. حل عددی : با استفاده از روش میانگین‌گیری (یا روش ساکن)، معادله لاپلاس حل می‌شود تا زمانی که خطا کمتر از یک مقدار مشخص شود.
4. رسم نتایج : نتایج به صورت سه‌بعدی با استفاده از تابع surf نمایش داده می‌شود.
نتیجه‌گیری
معادلات بیضوی نقش مهمی در مدل‌سازی پدیده‌های طبیعی دارند و با استفاده از MATLAB می‌توان به راحتی آن‌ها را حل کرد. این کد نمونه‌ای از نحوه پیاده‌سازی و حل این معادلات است که می‌تواند به عنوان پایه‌ای برای پروژه‌های پیچیده‌تر مورد استفاده قرار گیرد.
توزیع پتانسیل
