حل معادلات سهموی با استفاده از روش ریچاردسون(فرترن)

 

مقدمه

 

روش ریچاردسون یک تکنیک عددی برای بهبود دقت تخمین‌های عددی است که می‌تواند در حل معادلات دیفرانسیل جزئی، از جمله معادلات سهموی، به کار رود. این روش به ویژه برای کاهش خطاهای عددی در تخمین‌های اولیه مفید است.

 

در این مقاله، ما به بررسی روش ریچاردسون برای حل معادله حرارت (یک نوع معادله سهموی) می‌پردازیم و پیاده‌سازی آن را در زبان‌های برنامه‌نویسی متلب، فرترن و پایتون ارائه خواهیم داد.

 

معادله حرارت

 

معادله حرارت به صورت زیر تعریف می‌شود:

که در آن:

 

• ( u(x,t  دما در نقطه  x  و زمان  t  است.

 

•  α  ضریب نفوذ است.

 

روش ریچاردسون

 

روش ریچاردسون به ما این امکان را می‌دهد که با استفاده از دو تخمین با دقت‌های مختلف، یک تخمین جدید با دقت بالاتر تولید کنیم. اگر(  uₕ  و  u_(h/2  به ترتیب تخمین‌هایی با گام‌های فضایی  h  و  h/2  باشند، می‌توان تخمین جدید را به صورت زیر نوشت:

 

u_(new) = uₕ + uₕ - u₍h/2) / k

 

که در آن  k  یک عدد ثابت است که معمولاً برابر با 1 یا 2 انتخاب می‌شود.

 

 

پیاده‌سازی در فرترن

نتیجه‌گیری

روش ریچاردسون یک تکنیک قدرتمند برای افزایش دقت تخمین‌های عددی است که می‌تواند در حل معادلات سهموی بسیار مفید باشد. با پیاده‌سازی این روش در زبان‌های مختلف برنامه‌نویسی، می‌توانید نتایج دقیق‌تری از مسائل فیزیکی و مهندسی بدست آورید.

این مقاله می‌تواند به عنوان یک منبع مفید برای یادگیری و درک بهتر معادلات سهموی و روش‌های عددی مربوطه باشد.