حل عددی معادله انتقال حرارت در شبکه‌های غیرساختاریافته: کاربرد روش حجم محدود

مقدمه

در دنیای مهندسی، مدل‌سازی دقیق انتقال حرارت در دامنه‌های پیچیده همواره یکی از چالش‌های مهم بوده است. از طراحی خنک‌کننده‌های الکترونیکی گرفته تا شبیه‌سازی فرآیندهای صنعتی، حل معادلات انتقال حرارت در دامنه‌های با هندسه پیچیده نیازمند استفاده از روش‌های عددی پیشرفته است. یکی از این روش‌ها، استفاده از شبکه‌های غیرساختاریافته      (Unstructured Grids)  در ترکیب با روش حجم محدود  (Finite Volume Method) است.

در این مطلب، به بررسی نحوه استفاده از شبکه‌های غیرساختاریافته برای حل معادله انتقال حرارت دو بعدی می‌پردازیم. این روش، که الهام‌گرفته از مقاله "Proposing A Numerical Solution for the 3D Heat Conduction Equation" است، قابلیت مدل‌سازی دامنه‌های پیچیده را با دقت بالا فراهم می‌کند. تفاوت اصلی این پروژه با مقاله اصلی، تمرکز آن بر حالت دو بعدی و استفاده از شبکه‌های غیرساختاریافته است.

مواد و روش‌ها

معادله انتقال حرارت

معادله اصلی انتقال حرارت دو بعدی به صورت زیر بیان می‌شود:

در این معادله:

• T:  دما (بر حسب کلوین)
• ρ:   چگالی ماده بر حسب kg/m3) )
•   C: ظرفیت گرمایی ویژه بر حسب J/kg/ K))
•   q​: بردار شار حرارتی که با استفاده از قانون فوریه به صورت زیر تعریف می‌شود:

روش حجم محدود

روش حجم محدود یکی از پرکاربردترین روش‌ها در حل عددی معادلات دیفرانسیل جزئی است. در این پروژه، دامنه حل به چندین حجم کنترل تقسیم شده و معادلات برای هر حجم کنترل به صورت جداگانه حل می‌شوند. برای گسسته‌سازی معادله اصلی، از قضیه واگرایی گاوس استفاده شده است:

این رابطه به ما اجازه می‌دهد تا انتگرال‌های حجمی را به انتگرال‌های سطحی تبدیل کنیم. معادله گسسته‌شده به صورت زیر خواهد بود:

در اینجا:

• Tn+1:  دمای جدید
• Tn:  دمای قدیم
• Δt:  گام زمانی
• V:  حجم کنترل
• Aj​:   بردار سطح مربوط به هر وجه

شبکه‌های غیرساختاریافته

یکی از ویژگی‌های منحصر به فرد این پروژه، استفاده از شبکه‌های غیرساختاریافته است. این شبکه‌ها به دلیل انعطاف‌پذیری بالا در مدل‌سازی دامنه‌های پیچیده، انتخاب ایده‌آلی برای مسائل مهندسی هستند. در این پروژه، از شبکه‌های غیرساختاریافته دو بعدی استفاده شده است. تعداد گره‌ها در شبکه‌های مختلف برای بررسی استقلال شبکه از  240 تا  2000 متغیر است.

شرایط مرزی

دو نوع شرط مرزی اصلی در این پروژه در نظر گرفته شده است:

1. شرط دیریکله :  دمای مشخص در مرز (T=T0​) .
2. شرط نیومن :  شار حرارتی مشخص در مرز (q=q0​) .

نتایج

اعتبارسنجی روش

برای اعتبارسنجی روش عددی، سه مورد آزمایشی در نظر گرفته شده است:

1. حالت یک‌بعدی :  مقایسه نتایج با حل تحلیلی نشان داد که روش عددی دقت بالایی دارد.
2. حالت دو‌بعدی :  در این حالت، یک صفحه مستطیلی با شرایط مرزی مختلف مدل‌سازی شد. نتایج با حل دقیق موجود در منابع مقایسه شد و همخوانی عالی مشاهده شد.
3. بررسی استقلال شبکه :  شبیه‌سازی‌ها با تعداد گره‌های مختلف انجام شد. نتایج نشان داد که با افزایش تعداد گره‌ها، دقت نتایج بهبود می‌یابد و در تعداد گره‌های بالاتر، نتایج به حالت پایدار می‌رسند.

مقایسه با نرم‌افزار ANSYS

نتایج به دست آمده از پروژه فعلی با نرم‌افزار تجاری ANSYS مقایسه شد. نمودارها نشان داد که توزیع دما در جهت‌های مختلف با نتایج ANSYS همخوانی خوبی دارد.

نتیجه‌گیری و پیشنهادات

این پروژه نشان داد که استفاده از شبکه‌های غیرساختاریافته در ترکیب با روش حجم محدود، یک روش کارآمد برای حل معادله انتقال حرارت دو بعدی است. این روش قابلیت مدل‌سازی دامنه‌های پیچیده را با دقت بالا فراهم می‌کند و نتایج آن با حل‌های دقیق و نرم‌افزارهای تجاری همخوانی خوبی دارد.