معادلات دیفرانسیل جزئی (PDEs) در مدل‌سازی پدیده‌های طبیعی و مهندسی کاربرد گسترده‌ای دارند. یکی از روش‌های متداول برای حل عددی این معادلات، روش تفاضلات محدود (FDM) است. در این مقاله، به بررسی این روش و پیاده‌سازی آن در زبان برنامه‌نویسی متلب خواهیم پرداخت.
۱. معرفی روش تفاضلات محدود
روش تفاضلات محدود، یک تکنیک عددی است که برای تقریب مشتقات در معادلات دیفرانسیل جزئی استفاده می‌شود. در این روش، دامنه حل به شبکه‌ای از نقاط تقسیم می‌شود و مشتقات در این نقاط با استفاده از تفاضلات محدود تقریب زده می‌شوند.
۲. مثال: معادله حرارتی
یکی از معادلات دیفرانسیل جزئی معروف، معادله حرارتی است که به صورت زیر تعریف می‌شود:
∂ u / ∂ t = α ∂² u / ∂ x²
که در آن( u(x, t دما، α ضریب نفوذ حرارتی، x مکان و t زمان است.
۳. گام‌های حل عددی
۳.۱. گام اول: تعریف پارامترها
L = 10; % طول میله
T = 5; % زمان نهایی
Nx = 100; % تعداد نقاط در محور x
Nt = 50; % تعداد نقاط در محور t
alpha = 0.01; % ضریب نفوذ حرارتی
dx = L/(Nx-1); % فاصله بین نقاط x
dt = T/(Nt-1); % فاصله بین نقاط t
۳.۲. گام دوم: تعریف شبکه و شرایط اولیه
x = 0:dx:L; % ایجاد شبکه x
u = zeros(Nx, Nt); % ماتریس برای ذخیره نتایج
% شرایط اولیه
u(:, 1) = sin(pi*x/L); % دما در زمان t=0
۳.۳. گام سوم: پیاده‌سازی روش تفاضلات محدود
for n = 1:Nt-1
for i = 2:Nx-1
u(i, n+1) = u(i, n) + alpha * dt / dx^2 * (u(i+1, n) - 2*u(i, n) + u(i-1, n));
end
end
۳.۴. گام چهارم: نمایش نتایج
% رسم نتایج
figure;
surf(0:dt:T, x, u);
xlabel('زمان');
ylabel('مکان');
zlabel('دما');
title('توزیع دما در طول زمان');
۴. نتیجه‌گیری
در این مقاله، روش تفاضلات محدود برای حل عددی معادله حرارتی با استفاده از متلب بررسی شد. این روش به سادگی قابل پیاده‌سازی است و می‌تواند برای انواع مختلفی از معادلات دیفرانسیل جزئی مورد استفاده قرار گیرد.
نتایج شبیه‌سازی
با استفاده از کد بالا، میتوانید به راحتی معادلات دیفرانسیل جزئی را حل کرده و نتایج را مشاهده کنید.
