حل عددی معادله هدایت حرارتی در یک دامنه مستطیل شکل
یکی از مسائل مهم در مهندسی حرارت و انتقال حرارت است. در اینجا، یک روش عددی برای حل معادله هدایت حرارتی با استفاده از روش تفاضل محدود (Finite Difference Method) در متلب ارائه می‌شود.
مسئله
ما یک دامنه مستطیل شکل با ابعاد Lₓ و Lᵧ داریم و دما در نقاط مرزی آن مشخص شده است. هدف ما حل معادله هدایت حرارتی در حالت حالت پایدار (steady state) است.
معادله هدایت حرارتی به صورت زیر است:
شرایط مرزی
برای سادگی، فرض می‌کنیم که دما در مرزها به صورت زیر تعریف شده است:
T(0, y) = T₁
T(Lₓ, y) = T₂
T(x, 0) = T₃
T(x, Lᵧ) = T₄
کد متلب
در اینجا کد متلب برای حل این مسئله آورده شده است:
توضیحات کد:
1. تعریف پارامترها: ابعاد دامنه و تعداد نقاط مش (mesh points) در هر بعد تعریف می‌شود.
2. شرایط مرزی: دما در چهار مرز دامنه مشخص می‌شود.
3. ایجاد ماتریس دما: یک ماتریس برای ذخیره مقادیر دما ایجاد می‌شود.
4. حل معادله: با استفاده از روش تفاضل محدود، دما در نقاط داخلی محاسبه می‌شود. این کار با استفاده از یک حلقه تکرار انجام می‌شود.
5. رسم نتایج: با استفاده از تابع surf، توزیع دما در دامنه مستطیل شکل رسم می‌شود.
پس از اجرای کد، تصویری مشابه زیر تولید خواهد شد که توزیع دما را نشان می‌دهد:
نتیجه‌گیری
این کد به شما این امکان را می‌دهد که توزیع دما را در یک دامنه مستطیل شکل محاسبه کرده و آن را بصورت گرافیکی نمایش دهید. این نوع حل عددی می‌تواند به راحتی برای مسائل پیچیده‌تر توسعه یابد.