مقدمه
روش تکرار ژاکوبی یکی از روش‌های عددی برای حل معادلات خطی است. این روش به ویژه زمانی مفید است که ماتریس معادله دارای ویژگی‌های خاصی باشد، مانند ماتریس‌های قطری غالب. در این مطلب، ما به بررسی این روش و پیاده‌سازی آن در زبان برنامه‌نویسی متلب خواهیم پرداخت.
توضیح روش تکرار ژاکوبی
فرض کنید ما یک سیستم معادلات خطی به شکل زیر داریم:
Ax = b
که در آن A یک ماتریس n × n و b یک بردار n × 1 است. برای استفاده از روش تکرار ژاکوبی، ماتریس A را به دو قسمت تقسیم می‌کنیم:
A = D + L + U
که در آن:
• D ماتریس قطری است.
• L ماتریس زیرقطری (درایه‌های زیر قطر اصلی).
• U ماتریس بالاقطری (درایه‌های بالای قطر اصلی).
معادله را می‌توان به شکل زیر نوشت:
که در آن )x⁽ᵏ تخمین x در گام k است.
پیاده‌سازی در متلب
در زیر کد متلب برای پیاده‌سازی روش تکرار ژاکوبی آورده شده است:
توضیحات کد:
• ابتدا ماتریس A و بردار b تعریف می‌شوند.
• تخمین اولیه برای x برابر با صفر قرار داده می‌شود.
• حلقه اصلی برای تکرار تا حداکثر تعداد مشخص شده یا همگرایی انجام می‌شود.
• در هر تکرار، مقدار جدید برای هر عنصر از x محاسبه می‌شود.
• در نهایت، نتیجه نهایی نمایش داده می‌شود.